مثلث سرپینسکی

یک مثلث متساوی الاضلاع را در نظر بگیرید:

وسط اضلاع را به هم وصل کنید

مثلث میانی را حذف کنید

همین کار را بر روی سه مثلثی که در گوشه ها ایجاد می شود انجام دهید

اگر بی نهایت بار این کار را انجام دهید شکل حاصله یک مثلث سرپینسکی است:

اشکال هندسی

الف) دلگون(Cardioid) :اگر دايره اي به شعاع 1 واحد مماس بر دايره اي به شعاع 1 واحد، حول آن بغلتد،شكلي كه يك نقطه از محيط دايره ي غلتان بر آن حركت مي كند را دلگون گويند .

ادامه نوشته

برخی ویژگی های تصادفی ریاضی

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321 

ادامه نوشته

برخی از اتحادهای مهم جبری

در میان اتحادهای جبری، برخی از اتحادها بسیار مهم و کاربردی می باشند و در حل معادلات، محاسبات جبری، تجزیه عبارت جبری و... بسیار کاربرد دارند. از این رو دانستن و به کاربردن آنها از اهمیت خاصی برخوردار است. در این قسمت به بررسی این اتحادهای مهم می پردازیم.

اتحاد مربع مجموع دو جمله

---

مثال:

اتحاد مربع تفاضل دو جمله

---

مثال:

اتحاد مکعب مجموع دو جمله

---

مثال:

اتحاد بسط دو جمله ای نیوتن

در دو اتحاد قبل مشاهدی کردید که عبارت مجموع با تفاضل دو جمله چون (a+b)،(a-b) به توان های دو و سه رسیدند. حال این اتحاد برای توانهای طبیعی n هم قابل تعمیم است و به آن اتحاد بسط دو جمله ای نیوتن می گویند.

ادامه نوشته

اعداد خیلی بزرگ...!

برای خواندن عدد های خیلی بزرگ نامی را به کار می بریم که اروپائیان از ریشه واژه های لاتینی ، یا زبانهای دیگر اروپایی برای آنها انتخاب کرده ا ند.که اینجا به معرفی برخی از آن ها می پردازیم:

 

یک میلیون                                                                   1٫000٫000

 میلیون (  million) یعنی هزار هزار، در زبان لاتینی  mille به معنی هزار به کار رفته است. در گذشته ما این عدد را دو کـُـرور می نامیدیم. کـُـرور واژه ای هندی است که در زبان فارسی به معنی پانصد هزار به کــار می رفت. یک میلیون یک دستهٔ سه تایی صفر  بیشتر از هزار دارد.

 یک بیلیون                                                               1٫000٫000٫000

بیلیون (  billion) یعنی هزار میلیون. در بعضی کشورها این عدد را میلیارد (  milliard) می نامند. در زبان لاتین bi  به معنای دو است.  یک بیلیون دو دستهٔ سه تایی صفر  بیشتر از هزار دارد.

 

یک تریلیون                                                        1٫000٫000٫000٫000

 

تریلیون (  trillion) یعنی هزار بیلیون. در زبان لاتین tri  به معنای سه است.  یک تریلیون سه دستهٔ سه تایی صفر  بیشتر از هزار دارد.

 

یک کادریلیون                                                 1٫000٫000٫000٫000٫000

 

کادریلیون (  quadrillion) یعنی هزار تریلیون. quad به معنی چهار است. یک کادریلیون چهار  دستهٔ سه تایی صفر  بیشتر از هزار دارد.

 

یک کـَـنتیلیون                                          1٫000٫000٫000٫000٫000٫000

 

کـَـنتیلیون (  quintillion)  یعنی هزار کادریلیون. quint به معنی پنج است. یک کنتیلیون پنج  دستهٔ سه تایی صفر  بیشتر از هزار دارد.

 

 

یک سیکستیلیون                                1٫000٫000٫000٫000٫000٫000٫000

 

سیکستیلیون (sixtillion -  séxtillion) یعنی هزار کـَـنتیلیون.  séx به معنی شش است. یک سیکستیلیون شش  دستهٔ سه تایی صفر  بیشتر از هزار دارد.

 

یک سـِـپتیلیون                              1٫000٫000٫000٫000٫000٫000٫000٫000

 

سپتیلیون (  septillion) یعنی هزار سیکستیلیون. sept به معنی هفت است. یک سپتیلیون هفت  دستهٔ سه تایی صفر  بیشتر از هزار دارد.

 

یک اُکتیلیون                          1٫000٫000٫000٫000٫000٫000٫000٫000٫000

 

اُکتیلیون(  octillion) یعنی هزار سپتیلیون. oct  به معنی هشت است. یک اکتیلیون هشت  دستهٔ سه تایی صفر  بیشتر از هزار دارد.

 

یک نونیلیون                    1٫000٫000٫000٫000٫000٫000٫000٫000٫000٫000

 

نونیلیون(  nonillion) یعنی هزار اکتیلیون.  non  به معنی نـه است. یک نونیلیون  نه  دستهٔ سه تایی صفر  بیشتر از هزار دارد.

 

یک دسیلیون              1٫000٫000٫000٫000٫000٫000٫000٫000٫000٫000٫000

 

دسیلیون(  decillion) یعنی هزار نونیلیون. dec به معنی ده است.  یک دسیلیون  ده  دستهٔ سه تایی صفر  بیشتر از هزار دارد.

 

  . عددها بیشمارند. به همین سبب ، نامگذاری همه آنها ممکن نیست. همانطور که می دانیم ریاضیدانان برای رهائی از این مشکل و آسانتر کردن کار عددهای بزرگ را به روشی دیگر نشان می دهند. برای مثال ،  عدد ۱۰۰۰  را به صورت ۱۰۳ و عدد ۱٫۰۰۰٫۰۰۰ را به صورت ۱۰۶ نشان می دهند.  یک بیلیون یا یک  میلیارد را به صورت ۱۰۹ و یک کادریلیون به صورت ۱۰۱۵ نشان داده می شود. دو هزار را به صورت ۱۰۳  × ۲    و سی میلیون را به صورت  ۱۰۶ ×۳۰    یا  ۱۰۷  ×  ۳  نشان می دهند.

چقدر به شهود رياضي خود اعتماد داريد؟

در اين جا ،با طرح چند پارادوكس در پي آن هستيم تا هوشمندانه تر با مسائل رياضي برخورد نماييم...

با طرح مساله ي زير آغاز مي كنيم: 

مساله:مستطيل PQRS با طول و عرض به ترتيب 15 و 6 سانتي‌متر را در نظر بگيريد.مساحت مثلث A برابر 4 سانتي متر مربع و مساحت مثلث B برابر 16سانتي متر مربع مي‌باشند. مساحت مستطيل C چقدر است؟

  

                                                                   شكل 1        

      

ادامه نوشته

روش های آسان برای ضرب اعداد

شما می توانید با یک شیوه ی فوق العاده در ریاضیات و بدون ماشین حساب ضرب اعداد را انجام دهید. پس از یاد گرفتن این شیوه قادر خواهید بود تمام اعداد را چه بزرگ و چه کوچک، چه تک رقمی و چه چند رقمی به راحتی در یکدیگر ضرب کرده و پاسخ آنها را به راحتی و بدون استفاده از ماشین حساب پیدا کنید. برای اینکار هم فقط کافی است چند تا خط ناقابل رسم کنید و تمام…
توضیح این روش با جملات بسیار دشوار است بنابراین اجازه بدهید کار خود را با تصاویر شروع کنیم. تصویر زیر را نگاه کنید :

ادامه نوشته

یک عدد عجیب :

یک نفر از اساتید دانشکده شهر آتن پایتخت یونان چندی پیش عددی را کشف کرد که خصایص عجیبی دارد.
آن عدد:142857 میباشد.

اگر عدد مذکور را در دو ضرب کنیم، حاصل: 285714 میشود! (به ارزش مکانی 14 توجه کنید).

اگر این عدد را در سه ضرب کنیم حاصل: 428571 میشود!(به ارزش مکانی 1 توجه کنید).

اگر این عدد را در چهار ضرب کنیم حاصل: 571428 میشود!( به ارزش مکانی 57 توجه کنید).

اگر این عدد را در پنج ضرب کنیم حاصل: 714285 میشود!(به ارزش مکانی 7 توجه کنید).

اگر این عدد را در شش ضرب کنیم حاصل: 857142 میشود! (سه رقم اول با سه رقم دوم جا بجا شده)

اگر این عدد را در هفت ضرب کنیم حاصل: 999999 میشود!

رابطه بین حیوانات و اعداد ریاضی

سیل یک پستاندار دریایی گوشتخوار است .

آن را دست آموز می کنند و در برخی از سیرکها برای نمایش بکار می گیرند . از سیل می خواهند که تا فلان عدد را بشمارد . سیل با چند بار دمیدن در یک بوق پاسخ درستی به این سوال می دهد.

ادامه نوشته

شش عدد حاکم بر کل جهان

شش عدد بر کل جهان حاکم است که از زمان انفجار بزرگ شکل گرفته اند. اگر هر کدام از این

اعداد با مقدار فعلی آن کمی فرق داشت، هیچ ستاره، سیاره یا انسانی در جهان وجود

نداشت. قوانین ریاضی عامل تحکیم ساختار جهان است. این قاعده فقط شامل اتم ها نمی

شود، بلکه کهکشان ها، ستاره ها و انسان ها را نیز در برمی گیرد. خواص اتم ها ـ از جمله

اندازه و جرمشان، انواع مختلفی که از آنها وجود دارد و نیروهایی که آنها را به یکدیگر متصل

می کند ـ عامل تعیین کننده ماهیت شیمیایی جهانی است که در آن به سر می بریم. تعداد

بسیار اتم ها به نیروها و ذرات داخل آنها بستگی دارد. اجرامی را که اخترشناسان مورد

بررسی قرار می دهند ـ سیارات، ستارگان و کهکشان ها ـ توسط نیروی گرانش کنترل می

شوند و همه این موارد در جهان در حال گسترشی روی می دهد که خواصش در لحظه انفجار

بزرگ اولیه (Bigbang) در آن تثبیت شده است.

 

 

ادامه نوشته

666

:عدد ابلیس

۶۶۶ را علامت ابلیس نامیده اند که این شهرت از کتاب وحی(فصل ۱۳، شعر ۱۸، برای کامل بودن) به دست آمده است. مشخصات جالب این عدد همواره مورد توجه  ریاضیدانان بوده است. اکنون به طور خلاصه چند ویژگی ریاضیاتی عدد ۶۶۶ را بیان میکنیم.

عدد ۶۶۶ به سادگی از جمع و تفریق توانهای ششم سه عدد آغازین به دست می آید.  

۶۶۶=۱^۶-۲^۶+۳^۶

همچنین این عدد برابر است با مجموع ارقام خود باضافه جمع توانهای سوم ارقامش.

۶۶۶=۶+۶+۶+۶^۳+۶^۳+۶^۳

تنها پنج عدد صحیح مثبت با چنین خاصیتی وجود دارند. آنها را پیدا کنید.

جمع توانهای دوم ۷ عدد اول برابر است با ۶۶۶.

۶۶۶=۲^۲+۳^۲+۵^۲+۷^۲+۱۱^۲+۱۳^۲+۱۷^۲

جمع ۱۴۴ رقم ابتدایی عدد پی برابر ۶۶۶ است. نکته جالب اینجاست که

۱۴۴=(۶+۶)×(۶+۶)

۶۶۶ یکی از دو عدد صحیحی میباشد که برابر مجموع توانهای سوم از ارقام تواندوم خویش باضافه مجموع ارقام توان سومش است. یعنی:

۶۶۶^۲=۴۴۳۵۵۶

۶۶۶^۳=۲۹۵۴۰۸۲۹۶

۶۶۶=(۴^۳+۴^۳+۳^۳+۵^۳+۵^۳+۶^۳)+(۲+۹+۵+۴+۰+۸+۲+۹+۶)

۲۵۸۳ عدد دیگریست که دارای این خاصیت میباشد.

مجموع ۶۶۶ عدد اول حاوی عدد ۶۶ میباشد.

۲+۳+۵+۷+۱۱+…+۴۹۶۹+۴۹۷۳=۱۵۳۳۱۵۷=۲۳×۶۶۶۵۹

دقیقا دو راه برای قرار دادن علامت “+” در رشته ۱۲۳۴۵۶۷۸۹ داریم تا ۶۶۶ حاصل شود در صورتیکه تنها یک راه برای رشته ۹۸۷۶۵۴۳۲۱ وجود دارد.

۶۶۶=۱+۲+۳+۴+۵۶۷+۸۹

 =۱۲۳+۴۵۶+۷۸+۹

۶۶۶=۹+۸۷+۶+۵۴۳+۲۱

مقسوم علیه ۱۲۳۴۵۶۷۸۹+۹۸۷۶۵۴۳۲۱ میباشد.۶۶۶

عدد اسمیت عدد صحیحی است که مجموع ارقامش برابر است با مجموع ارقام عوامل اول خودش. ۶۶۶ یک عدد اسمیت است. زیرا:

۶۶۶=۲×۳×۳×۳۷

۶+۶+۶=۲+۳+۳+۳+۷

 

پارادکس:

پارادکس به استدلالی گویند که حکمی که قبلا درستی آن اثبات گشته را نقض کند.

در منطق کلاسیک ریاضیات هر گزاره یاارزش درستی و یا ارزش نادرستی دارد. بنابراین یک گزاره نمی‌تواند هم ارزش درستی و هم ارزش نادرستی داشته باشد.
لذا در استدلالی که به پارادکس می‌انجامد حتما باید به دنبال اشتباه در استدلال گشت. 

1- پارادوکس روز تولد:

 اگر ۲۳ نفر در یک سخنراني شرکت کرده باشند، احتمال اين که حداقل ۲ نفر روز تولدشان يکي باشد حدود ۵۰%است، اگر ۲۲ نفر شرکت کرده باشند اين احتمال حدود ۰۵/۰% و اگر بيش از ۶۰ نفر حضور داشته باشند اين عدد بزرگتر از ۹۹% است.

---

2- پاردوكسهاي زنون Zeno’s Paradoxes :

در صورتي كه پاره خط بينهايت بار تقسيم پذير باشد، حركت ناممكن است، زيرا براي اين كه پاره خطي مانند ABرا با شروع از نقطه A بپيماييم، ابتدا بايد به نقطة وسط آن Cبرسيم. براي اين كه ACپيموده شود، بايد به نقطة وسط آن D برسيم و قس عليهذا. پس نمي توان حتي از نقطة A حركت كرد. A---D---C-------B
در مسابقه ” دو“ بين آشيل تندرو و لاك پشت كندرو، آشيل كه كمي عقب تر از لاك پشت است، هيچگاه به او نمي رسد. زيرا ابتدا بايد به نقطه اي برسد كه لاك پشت از آنجا حركت كرده است. اما وقتي به آنجا مي رسد لاك پشت قدري جلوتر رفته است و همان وضعيت قبل روي مي دهد و با تكرار اين روند، گرچه آشيل به لاك پشت نزديك مي شود ولي هيچگاه به او نمي رسد. A------------T------

---

3- پارادوكس لامپ تامسون (Tompson Lamp Paradox ) :

لامپي به مدت يک دوم دقيقه روشن مي شود، سپس براي يک چهارم دقيقه خاموش مي شود، به مدت يک هشتم دقيقه روشن می‌شود و قس عليهذا. درست بعد از يك دقيقه لامپ روشن خواهد بود يا خاموش؟

ادامه نوشته

یه حکایت جالب...

 

یک حکایت جالب در مورد یک سفسطه منطقی، حق با استاد است یا شاگرد؟

 شاگردی نزد استاد خود، فن خطابه و بیان می آموخت (یعنی چگونگی بحث کردن و غلبه بر

طرف مقابل در بحث) قرار گذاشتن که نصف حق التدریس استاد رو اول بده، بقیه اش رو بعد از

اینکه بر اولین نفر در بحث پیروز شد. خلاصه، استاد درسش رو داد و تموم شد ولی کسی پیدا

نشد که با شاگرده بحث کنه تا ببینند پیروز میشه یا نه.

استاد بالاخره خسته شد و رفت به دادگاه و شکایت کرد که بقیه پولش رو بگیره. یه نامه هم

به شاگردش نوشت و به او گفت:«من چه در دادگاه برنده بشم و چه بازنده تو باید پول من رو

بدی. چون اگه برنده بشم که قانون تو رو مجبور می کنه پول من رو بدی. اگر هم بازنده بشم ،

چون تو در اولین بحثت بر من پیروز شدی، طبق قرار قبلیمون باید پول من رو بدی. »

شاگرد در جواب نوشت که :« نه خیرم! من چه در دادگاه برنده بشم چه بازنده پول تو رو نباید

بدم. چون اگر برنده بشم که خوب در دادگاه برنده شدم و نیازی نیست پول تو رو بدم. اگر هم

بازنده بشم، طبق قرار قبلیمون، من در اولین بحث خودم پیروز نشده ام. پس لازم نیست پولی

به تو بدم. »

در کتب منطقی به این مسئله، تحت عنوان «قیاس ذوحدین عیب ناک» رسیدگی میشه. در

واقع یک سفسطه منطقی است.

حالا واقعاً کدوم درست میگن؟ استاد یا دانشجو؟؟؟